数学常用概念

1、绝对数和相对数

绝对数:是反应客观现象总体在一定时间、一定地点下的总规模、总水平的综合性指标,也是数据分析中常用的指标。比如年GDP,总人口等等。

相对数:是指两个有联系的指标计算而得出的数值,它是反应客观现象之间的数量联系紧密程度的综合指标。相对数一般以倍数、百分数等表示。相对数的计算公式:

相对数=比较值(比数)/基础值(基数)

2、百分比和百分点

百分比:是相对数中的一种,它表示一个数是另一个数的百分之几,也称为百分率或百分数。百分比的分母是100,也就是用1%作为度量单位,因此便于比较。

百分点:是指不同时期以百分数的形式表示的相对指标的变动幅度,1%等于1个百分点。

3、频数和频率

频数:一个数据在整体中出现的次数。

频率:某一事件发生的次数与总的事件数之比。频率通常用比例或百分数表示。

4、比例与比率

比例:是指在总体中各数据占总体的比重,通常反映总体的构成和比例,即部分与整体之间的关系。

比率:是样本(或总体)中各不同类别数据之间的比值,由于比率不是部分与整体之间的对比关系,因而比值可能大于1。

5、倍数和番数

倍数:用一个数据除以另一个数据获得,倍数一般用来表示上升、增长幅度,一般不表示减少幅度。

番数:指原来数量的2的n次方。

6、同比和环比

同比:指的是与历史同时期的数据相比较而获得的比值,反应事物发展的相对性。

环比:指与上一个统计时期的值进行对比获得的值,主要反映事物的逐期发展的情况。

7、变量

变量来源于数学,是计算机语言中能储存计算结果或能表示值抽象概念。变量可以通过变量名访问。

8、连续变量

在统计学中,变量按变量值是否连续可分为连续变量与离散变量两种。在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值。如:年龄、体重等变量。

9、离散变量

离散变量的各变量值之间都是以整数断开的,如人数、工厂数、机器台数等,都只能按整数计算。离散变量的数值只能用计数的方法取得。

10、定性变量

又名分类变量:观测的个体只能归属于几种互不相容类别中的一种时,一般是用非数字来表达其类别,这样的观测数据称为定性变量。可以理解成可以分类别的变量,如学历、性别、婚否等。

11、缺失值

它指的是现有数据集中某个或某些属性的值是不完全的。

12、异常值

指一组测定值中与平均值的偏差超过两倍标准差的测定值,与平均值的偏差超过三倍标准差的测定值,称为高度异常的异常值。

13、期望

数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。 它反映随机变量平均取值的大小。 需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。

14、均值

即平均数,平均数是表示一组数据集中趋势的量数,是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。

import numpy as np
l = [1,2,3,4,5]
np.mean(l)

15、分位数

分位数(Quantile),也称分位点,是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的数值点,分析其数据变量的趋势。 常用的有中位数、四分位数、百分位数等。

l = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
np.quantile(l, 0.25)

16、中位数

对于有限的数集,可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个,通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。

l = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
np.median(l)

17、方差

是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

l = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
m = np.mean(l)
l2 = list(map(lambda x: (x-m)**2, l))
v = np.mean(l2)
# 或者
v = np.var(l)

18、标准差

又常称均方差,是离均差平方的算术平均数的平方根。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据,标准差未必相同。

l = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
m = np.mean(l)
l2 = list(map(lambda x: (x-m)**2, l))
s = np.sqrt(np.mean(l2))
# 或者
s = np.std(l)

19、协方差

协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。两个随机变量越线性相关,协方差越大,完全线性无关,协方差为零。定义如下。

cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]

X = np.array([[1,5,6],[4,3,9]])
c = np.cov(X)
c结果如下:
array([[ 7.        ,  4.5       ],
       [ 4.5       , 10.33333333]])
其中c[0,0]表示X[0]和X[0]计算得到协方差
c[0,1]表示X[0]和X[1]计算得到协方差,其他以此类推

20、相关系数

相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同,相关系数有多种定义方式,较为常用的是皮尔逊相关系数。

21、皮尔逊相关系数

皮尔森相关系数是用来反映两个变量线性相关程度的统计量。用r表示,其中n为样本量,分别为两个变量的观测值和均值。r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的绝对值越大表明相关性越强。

数学常用概念
X = np.array([[1,5,6],[4,3,9]])
r = np.corrcoef(X)
r结果如下
array([[1.        , 0.52910672],
       [0.52910672, 1.        ]])
其中r[0,0]表示X[0]和X[0]计算得到相关系数
r[0,1]表示X[0]和X[1]计算得到相关系数,其他以此类推

22、概率分布

概率分布是指随机变量X小于任何已知实数x的事件可以表示成的函数。 用以表述随机变量取值的概率规律。 描述不同类型的随机变量有不同的概率分布形式。

23、正态分布

正态分布(Normal distribution),又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布,记为N(μ,σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

数学常用概念
np.random.normal(loc, scale, size)
    loc:概率分布的均值,对应着整个分布的中心center
    scale:概率分布的标准差,对应于分布的宽度,scale越大越矮胖,scale越小,越瘦高
    size:输出的shape,默认为None,只输出一个值

np.random.normal(loc=0, scale=1, size=10)
生成10个服从均值为0,标准差为1的正态分布

画图展示
import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100000), bins=500)
plt.show()
数学常用概念
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